| 英文名 | Liberal Arts and Sciences Seminar B | |
|---|---|---|
| 科目概要 | 2026年度 前期／1単位 | |
| 授業対象 | 指定なし（M学部，ET学科，PT専攻，ST専攻，OV専攻，FR学部を除く） 火２／ ［自由］M学部 火２／ ［自由］ET学科 火２／ ［自由］PT専攻 火２／ ［自由］ST専攻 火２／ ［自由］OV専攻 火２／ ［自由］FR学部 火２ | |
| 科目責任者 | 伊藤 真吾 | |
| 担当者 | 伊藤 真吾 | |
| 備考 | 科目ナンバリング：L102-ME02／授業形態：演習 |
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ラプラス変換およびフーリエ級数の理論を理解し、それらを微分方程式に応用出来るようになることを目的とする。
ラプラス変換は常微分方程式を解く手法の1つである。講義の前半ではラプラス変換とその性質を解説し、ラプラス変換を用いた常微分方程式の初期値問題の解法を詳しく説明する。周期関数を三角関数の級数で表したものをフーリエ級数という。講義の後半ではフーリエ級数とその性質を解説し、フーリエ級数を用いて物理学や工学の中によく現れる代表的な2階偏微分方程式である波動方程式、熱伝導方程式の解法を詳しく解説する。
【この授業は全て対面で実施します】
講義の最初の60分～75分程度は板書による講義形式で授業を進める。残りの時間は問題演習の時間に充てる。適宜、黒板で発表してもらう。
【フィードバックの方法】演習問題は毎回提出してもらい、採点・添削したものを次回授業時に返却する。
【授業時間外に必要な学習の時間：15時間】
予習：次回内容に関する教科書の該当部分を一通り読んでおくこと（20分程度）。
復習：授業内容を復習し、配布プリントおよび教科書の演習問題に取り組むこと（40分程度）。
| 回 | 担当者 | 項目 | 内容 |
|---|---|---|---|
| 1 | 伊藤 真吾 |
ガイダンス |
本講義の概要を説明する。また、微分方程式の定義、微分方程式の解、微分方程式の具体例などを学ぶ。 |
| 2 | 伊藤 真吾 |
ラプラス変換の定義 |
ラプラス変換について学び、初等的な関数のラプラス変換を計算する（教科書§1）。 |
| 3 | 伊藤 真吾 |
ラプラス変換の基本性質 |
線形法則・相似法則・移動法則・微分法則など、ラプラス変換の基本的な性質を学び、それらを利用して、色々な関数のラプラス変換を計算する（教科書§2）。 |
| 4 | 伊藤 真吾 |
ラプラス逆変換 |
ラプラス逆変換を学び、色々な関数のラプラス逆変換を計算する（教科書§3）。 |
| 5 | 伊藤 真吾 |
ラプラス変換と常微分方程式（１） |
ラプラス変換を用いた常微分方程式の初期値問題の解法を学ぶ（教科書§4）。 |
| 6 | 伊藤 真吾 |
ラプラス変換と常微分方程式（２） |
ラプラス変換を用いた常微分方程式の境界値問題の解法を学ぶ（教科書§5）。 |
| 7 | 伊藤 真吾 |
フーリエ級数（１） |
フーリエ級数について学び、簡単な関数のフーリエ級数を求める（教科書§10）。 |
| 8 | 伊藤 真吾 |
フーリエ級数（２） |
フーリエ余弦級数、フーリエ正弦級数、複素形フーリエ級数について学ぶ（教科書§11）。 |
| 9 | 伊藤 真吾 |
フーリエ級数（３） |
周期2Lをもつ関数f(x)のフーリエ級数を求める方法を学ぶ（教科書§12）。 |
| 10 | 伊藤 真吾 |
正規直交列とパーセヴァルの等式 |
フーリエ級数が最小2乗法の意味で最良の近似であることを確認する。また、ベッセルの不等式・パーセヴァルの等式について学ぶ（教科書§13）。 |
| 11 | 伊藤 真吾 |
フーリエ積分 |
フーリエ積分について学び、簡単な関数のフーリエ変換を求める（教科書§14）。 |
| 12 | 伊藤 真吾 |
波動方程式（１） |
1次元の波動方程式およびストークスの波動公式を導出する（教科書§15前半）。 |
| 13 | 伊藤 真吾 |
波動方程式（２） |
フーリエ級数を用いた波動方程式の解法を学ぶ（教科書§15後半）。 |
| 14 | 伊藤 真吾 |
熱伝導方程式 |
1次元の熱伝導方程式を導出し、フーリエ級数を用いた熱伝導方程式の解法を学ぶ（教科書§16）。 |
| 15 | 伊藤 真吾 |
まとめ |
まとめと解説 |
1. ラプラス変換の定義と性質を理解し、基本的な関数のラプラス変換を求めることができる。
2. ラプラス変換を用いて、簡単な常微分方程式の初期値問題を解くことができる。
3. フーリエ級数の定義と性質を理解し、基本的な周期関数のフーリエ級数を求めることができる。
4. フーリエ級数を用いて、簡単な偏微分方程式の初期値問題や境界値問題を解くことができる。
試験方法：レポート 実施時期：試験期間外
「講義内容の理解度を問うレポート（70%）」、「講義内での演習および発表において授業内容を正しく理解できている（30%）」により評価する。
現在の学力は問いませんが、高等学校で学ぶ数学III程度の微分積分の知識（特に微分計算と積分計算）を前提として授業を進めます。人の話を聞くだけでは数学の力はつきません。講義を聴くだけでなく、自ら問題を解くことでより一層の理解を深めてください。受講する学生には、授業への積極的な参加を希望します。
| 種別 | 書名 | 著者・編者 | 発行所 | 定価（円） |
|---|---|---|---|---|
| 教科書 | ラプラス変換とフーリエ解析要論(第2版)新装版 | 田代嘉宏 | 森北出版 | 1980 |
| 参考書 | やさしく学べるラプラス変換・フーリエ解析 | 石村園子 | 共立出版 | 2310 |
| 参考書 | 高校数学でわかるフーリエ変換 | 竹内淳 | 講談社 | 1100 |